РОСТ БАНКОВСКИХ ПРОЦЕНТОВ

Я.И. Перельман (цит. по "Занимательная алгебра", 1933; в сокр.)

Кто не слыхал о том легендарном числе пшеничных зерен, какое будто бы потребовал себе в награду изобретатель шахматной игры? Число это составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе 2 и т.д., все удваивая до последнего 64-го поля.

Однако с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5% в год, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметное возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенджамина Франклина. Вот извлечение из него:

"Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131.000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100.000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31.000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4.061.000 фунтов стерлингов, из коих 1.060.000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3.000.000 - правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов".

Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через сто лет должны превратиться в

х = 1000х1,05 100 фунтов.

Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов

lgx = lg1000 + 100lg1,05 = 5,11893,

откуда х = 131.000

в согласии с текстом завещания.

Далее, 31.000 фунтов в течение следующего столетия превратятся в

у = 31000х1,05100,

откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:

у = 4076500 - сумму,

несущественно отличающуюся от указанной в завещании.

В сберкассах процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.

Пусть в сберкассу положено 100 рублей из 100% годовых.

Если процентные деньги будут присоединяться к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 руб. превратятся в 200 руб.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 рублей, если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода.

По истечение полугодия 100 руб. вырастут в 100 руб. х 1,5 = 150 руб.

А еще через полгода - в 150 руб. х 1,5 = 225 руб.

Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 руб. превратятся в 100 руб. х (4/3)3 = 237 руб. 03 коп. Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д.

Тогда из 100 руб. спустя год получится: 00 руб. х 1,110 = 259 руб. 37 коп. 100 руб. х 1,01100 = 270 руб. 48 коп. 100 руб. х 1,0011000 = 271 руб. 69 коп.

Методами высшей математики доказывается, что при безграничном сокращении сроков присоединения наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271 руб. 83 коп (без дробных долей копейки).

Больше чем в 2,7183 раза капитал, положенный из 100% увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду.

Полученное число 2,718..., играющее в высшей математике огромную роль, - не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число "пи", - имеет особое обозначение: е. Это число - иррациональное, оно не может быть точно выражено конечным числом цифр, но вычисляется лишь приближенно, с любой степенью точности.